Método de eliminação de Gauss para Sistemas Lineares

Gauss, ou Johann Carl Friedrich Gauss, foi um matemático que viveu entre 1777 e 1855 e concebeu muitas contribuições para a matemática, astronomia e física.

Objetivo

Uma das contribuições que Gauss nos deu, é uma técnica para simplificar a resolução de sistemas equacionais lineares.

O sistema linear acima, tem 3 incógnitas e descobrir os valores delas pode ser difícil ou em alguns casos impraticável. Mas usando o método de eliminação de Gauss podemos simplificar o sistema acima e determinar as incógnitas.

Os Três Teoremas de Eliminação de Gauss

Teorema 1) O sistema de equações não se altera quando permutamos as posições das equações:

Sendo então a equação abaixo:

Podemos trocar a posição das linhas:

Teorema 2) O sistema de equações não se altera quando multiplicamos os membros de uma das equações por qualquer número real não nulo:

Sendo então a equação abaixo:

Podemos multiplicar uma das equações por 2, membro a membro, por exemplo:

Teorema 3) Por inferência, podemos então substituir uma equação por outra obtida a partir da inclusão “membro a membro” desta equação, por outra na qual foi aplicada a transformação do Teorema 2 acima.

Sendo então a equação abaixo:

Multiplicamos a equação da primeira linha por 2 e somamos na equação do meio:

Exemplo prático

O objetivo é usar os 3 teoremas acima para conseguir zerar duas das incógnitas de uma das linhas a fim de poder determinar a incógnita que sobrar, e a partir dessa incógnita determinada ir determinando as outras incógnitas até o termos a solução.

Esse sistema é bem simples para ilustrar o que queremos, primeiro transformamos ele em uma matriz ampliada:

É fácil notar que podemos zerar o número abaixo do pivô da primeira linha (o primeiro número). Podemos aplicar o Teorema 3 para conseguir isso. Usando (lê-se de forma inversa: A primeira linha é subtraída da linha 2, tornando-se agora a nova linha 2).

Vamos pegar a tarceira coluna para ilustrar: , então a matriz resultante será:

Agora ficou mais fácil de identificar as incógnitas, mas para facilitar os numerários, vamos só por comodidade dividir por -2, para deixar os números menores e positivos. Podemos agora reescrever a equação da seguinte forma:

Rotornada a sua forma original, podemos deduzir que :

E substituindo por 6 na temos:

Portanto nossa solução é:

Nota: Dizemos que o sistema é impossível quando todas as incógnitas são zeradas. Você pode experimentar uma situação dessa resolvendo a seguinte equação:

Exercícios para você

Você pode resolver as seguintes equações abaixo, o resultado já está incluso para você se corrigir. Uma dica é sempre se atentar nas operações mais básicas de multiplicação e subtração de números negativos, pois é onde a maioria dos erros ocorrem. Esse tema cai frequentemente no exame do POSCOMP, exigido pela maioria das universidades federais e estaduais para admissão em cursos de Mestrado e Pós em exatas, especificamente, em ciência da computação:

Sistema 1)

Sistema 2)

Sistema 3)

Fontes: Fatos Matemáticos; Wikipédia

Editção: 5/nov/2017, o resultado do Sistema 2 estava incorreto mas agora está corrigido. Obrigado a um dos leitores por identificar o problema.