Método de eliminação de Gauss para Sistemas Lineares

Gauss, ou Johann Carl Friedrich Gauss, foi um matemático que viveu entre 1777 e 1855 e concebeu muitas contribuições para a matemática, astronomia e física.

Objetivo

Uma das contribuições que Gauss nos deu, é uma técnica para simplificar a resolução de sistemas equacionais lineares.

\begin{matrix}  2x & + 4y & -z & = 4\\  -2x & + 4y & + 3z & = 7\\  x & +y & +5z & = 3\end{matrix}

O sistema linear acima, tem 3 incógnitas S=\{(x,y,z)\} e descobrir os valores delas pode ser difícil ou em alguns casos impraticável. Mas usando o método de eliminação de Gauss podemos simplificar o sistema acima e determinar as incógnitas.

Os Três Teoremas de Eliminação de Gauss

Teorema 1) O sistema de equações não se altera quando permutamos as posições das equações:

Sendo então a equação abaixo:
2x + 4y -z = 4\\  -2x + 3y + 4z = 7\\  x + y + 5z = 9

Podemos trocar a posição das linhas:
x + y + 5z = 9\\  -2x + 3y + 4z = 7\\  2x + 4y -z = 4

Teorema 2) O sistema de equações não se altera quando multiplicamos os membros de uma das equações por qualquer número real não nulo:

Sendo então a equação abaixo:
2x + 4y -z = 4\\  -2x + 3y + 4z= 7\\  x + y + 5z=9

Podemos multiplicar uma das equações por 2, membro a membro, por exemplo:
2x + 4y -z = 4\\  -2x + 3y + 4z = 7\\  2x + 2y + 10z = 18

Teorema 3) Por inferência, podemos então substituir uma equação por outra obtida a partir da inclusão “membro a membro” desta equação, por outra na qual foi aplicada a transformação do Teorema 2 acima.

Sendo então a equação abaixo:
x + y + 5z = 9\\  -2x + 3y + 4z = 7\\  2x + 4y -z = 4

Multiplicamos a equação da primeira linha por 2 e somamos na equação do meio:
x + y + 5z = 9\\  0 + 5y + 14z = 25\\  2x + 4y -z = 4

Exemplo prático

O objetivo é usar os 3 teoremas acima para conseguir zerar duas das incógnitas de uma das linhas a fim de poder determinar a incógnita que sobrar, e a partir dessa incógnita determinada ir determinando as outras incógnitas até o termos a solução.

\begin{matrix}  x & + y & = 5\\  x & - y & = -7  \end{matrix}

Esse sistema é bem simples para ilustrar o que queremos, primeiro transformamos ele em uma matriz ampliada:

\begin{bmatrix}  1 & 1 & 5\\  1 & -1 & -7  \end{bmatrix}

É fácil notar que podemos zerar o número abaixo do pivô da primeira linha (o primeiro número). Podemos aplicar o Teorema 3 para conseguir isso. Usando L_2\leftarrow L_2-L_1 (lê-se de forma inversa: A primeira linha é subtraída da linha 2, tornando-se agora a nova linha 2).

Vamos pegar a tarceira coluna para ilustrar: -7-5=-12, então a matriz resultante será:

\begin{bmatrix}  1 & 1 & 5\\  0 & -2 & -12  \end{bmatrix}

Agora ficou mais fácil de identificar as incógnitas, mas para facilitar os numerários, vamos só por comodidade dividir L_2 por -2, para deixar os números menores e positivos. Podemos agora reescrever a equação da seguinte forma:

\begin{bmatrix}  1 & 1 & 5\\  0 & 1 & 6  \end{bmatrix}

Rotornada a sua forma original, podemos deduzir que y=6:

\begin{matrix}  x & + y & = 5\\  & + y & = 6  \end{matrix}

E substituindo y por 6 na L_1 temos:

x+6=5\\x=5-6\\x=-1

Portanto nossa solução é: S=\{(-1,6)\}

Nota: Dizemos que o sistema é impossível quando todas as incógnitas são zeradas. Você pode experimentar uma situação dessa resolvendo a seguinte equação:

\begin{matrix}  2x & +4x & =6 \\  x & +2y & = 1\end{matrix}

Exercícios para você

Você pode resolver as seguintes equações abaixo, o resultado já está incluso para você se corrigir. Uma dica é sempre se atentar nas operações mais básicas de multiplicação e subtração de números negativos, pois é onde a maioria dos erros ocorrem. Esse tema cai frequentemente no exame do POSCOMP, exigido pela maioria das universidades federais e estaduais para admissão em cursos de Mestrado e Pós em exatas, especificamente, em ciência da computação:

Sistema 1)
\begin{matrix}  4x & - 2y & = 2\\  2x & + 3y & = 21  \end{matrix}\hspace{20mm}\underset{resposta}{\rightarrow} S=\{(3,5)\}

Sistema 2)
\begin{matrix}  2x & - 2y & + 3z & = 20\\  5x & + 3y & - 10z & = -39\\  x & + y & + z & = 5  \end{matrix}\hspace{20mm}\underset{resposta}{\rightarrow} S=\{(\frac{60}{31},\frac{-43}{31},\frac{138}{31})\}

Sistema 3)
\begin{matrix}  x & + y & - z & = 0\\  x & - 2y & + 5z & = 21\\  4x & + y & + 4z & = 31  \end{matrix}\hspace{20mm}\underset{resposta}{\rightarrow} S=\{(2,3,5)\}

Fontes: Fatos Matemáticos; Wikipédia

Editção: 5/nov/2017, o resultado do Sistema 2 estava incorreto mas agora está corrigido. Obrigado a um dos leitores por identificar o problema.

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2 Comments

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  1. Renato Mariscal
    at June 27, 2012, 10:15 pm

    Engraçado, eu já fazia isso, mas não sabia (ou não lembrava) o nome LOL

    • Ewan
      at August 28, 2015, 7:46 am

      I love these activities I think I’ll try it with my (homeschooling) 2nd grade age son tmorroow. Do you have suggestions for where to find activities like these? I keep thinking I should start a math circle for my son, but haven’t gotten to it yet. Do your circles meet every week?If you put enough activities for 10-12 weeks of a math circle into an e-book, I bet it would sell. (I’d buy one.)

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