Método de eliminação de Gauss para Sistemas Lineares

Gauss, ou Johann Carl Friedrich Gauss foi um matemático que viveu entre 1777 e 1855 e concebeu muitas contribuições não só para a matemática, mas para a astronomia e física.

Objetivo

Uma das contribuições que Gauss nos deu, é uma forma de simplificação de sistemas equacionais lineares, a fim de se chegar numa solução mais facilmente.

O sistema linear acima, tem 3 icógnitas e descobrir quais elas são pode ser difícil e em algumas formas, impraticável do jeito que está. Contudo, usando o método de eliminação de Gauss, podemos simplificar o sistema acima, e determinar as icógnitas.

Os Três Teoremas de Eliminação de Gauss

Teorema 1) O sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.

Sendo então a equação abaixo:

Podemos trocar a posição das linhas:

Teorema 2) O sistema de equações não se altera, quando multiplicamos os membros de uma das equações do sistema, por qualquer número real não nulo.

Sendo então a equação abaixo:

Podemos multiplicar uma das equações por 2, membro a membro, por exemplo:

Teorema 3) Por inferência, podemos então substituir uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação do Teorema 2.

Sendo então a equação abaixo:

Multiplicamos a equação da primeira linha por 2 e somamos à equação do meio:

Exemplo prático

O objetivo então, é usando os 3 teoremas acima para conseguir zerar duas das icógnitas de uma das linhas a fim de poder determinar a que sobrar, e a partir dela, fazer a reversa e ir determinando as outras icógnitas. No fim, deveremos descobrir o valor de todas as icógnitas para ter o aceite do problema.

Esse sistema é bem simples para ilustrar o que queremos, primeiro transformamos ele em uma matriz ampliada:

É fácil notar que podemos zerar o número abaixo do pivô da primeira linha (o primeiro número). Podemos aplicar o T3 para conseguir isso. Usando (lê-se de forma inversa: A primeira linha é subtraída da linha 2, tornando-se agora a nova linha 2).

Vamos pegar a tarceira coluna para ilustrar: , então a matriz resultante será:

Agora ficou facílimo de identificar apenas por resolver a conta, mas para facilitar os numerários, vamos só por comodidade dividir por -2, para deixar os números menores e positivos, e podemos então voltar para a nossa equação normal:

Retornando a forma original, podemos automaticamente deduzir que :

E substituindo por 6 na temos:

Portanto nossa solução é:

Nota: Quando todas as icógnitas são zeradas, dizemos que o sistema é impossível. Você pode experimentar uma situação dessa resolvendo a seguinte equação:

Exercícios para você

Para exercitar, você pode resolver as seguintes equações abaixo, o resultado já está incluso para você se corrigir. Uma dica é sempre se atentar nas operações mais básicas de multiplicação e subtração de números negativos, é onde a maioria dos erros ocorrem. Esse tema cai frequêntemente no exame do POSCOMP, exigido pela maioria das universidades federais e estaduais para admissão em cursos de Mestrado e Pós em exatas. Mais especificamente, em ciência da computação:

Sistema 1)

Sistema 2)

Sistema 3)

Fontes: Fatos Matemáticos; Wikipédia